Con l’avvicinarsi delle feste, la ricerca dell’albero di Natale perfetto diventa una tradizione per molti. Se il processo di selezione spesso si basa su considerazioni estetiche riguardo alla taglia e alla forma, c’è tuttavia una sorprendente quantità di concetti matematici relativi alla creazione di questo importantissimo elemento natalizio. Il termine “Treegonometria” è stato coniato per descrivere i princìpi matematici usati per progettare l’albero di Natale perfetto. In questo articolo ci addentreremo nel mondo della treegonometria, esplorando le specifiche formule matematiche che contribuiscono alla creazione di un perfetto addobbo natalizio.
Due studenti dell’Università di Sheffield, Nicole Wrightham e Alex Craig, hanno svelato una formula che può aiutarci nella meticolosa decorazione del nostro albero di Natale:
• Numero di palline = h √17 / 20
Questa formula, lineare rispetto all’altezza (h) dell’albero, ha sollevato alcuni dubbi e ha condotto a discussioni intriganti all’interno della comunità dei matematici. Ciò è dovuto al fatto che la distribuzione su una superficie lineare in altezza sarebbe imprecisa al variare dell’altezza: alberi più alti apparirebbero, infatti, troppo spogli, mentre quelli bassi sembrerebbero sovraccarichi! Diamo dunque un’occhiata più da vicino, per cercare di chiarire i fondamenti matematici alla base.
Per ottenere una rappresentazione più accurata, la formula iniziale, lineare rispetto a h, deve considerare la densità superficiale (σ) delle palline, tenendo conto della forma conica dell’albero. Di fatto il parametro σ rappresenta quanto l’albero venga decorato con le palline: alti valori di σ descriveranno un albero pieno di palline, mentre bassi valori indicheranno un albero più spoglio. Più tardi stimeremo il valore di σ, per avere un albero decorato in modo bilanciato (non troppo, ma neanche troppo poco decorato). Ora proviamo a esprimere la formula per il numero di palline in funzione di σ e dell’altezza. Dal momento che la superficie laterale del cono è π r √(r²+h²), possiamo rappresentare la nostra distribuzione come numero di palline uguale a σ π r √(r²+h²). Ora proviamo a esprimere questa dipendenza solo in funzione dell’altezza, cioè riscriviamo il raggio in funzione dell’altezza. In generale, ci sono coni più tozzi e altri più slanciati, perciò sarebbe impossibile esprimere il raggio soltanto in funzione dell’altezza. Tuttavia, avendo a che fare con alberi e non con coni astratti, possiamo apprezzare alcune costanti nell’angolo al vertice, più o meno prevedibile. Un albero di Natale standard ha un (mezzo) angolo di apertura di circa 21 ± 4°, per cui il suo raggio è r = h tan (21 ± 4°) = h (0.38 ± 0.08), da cui:
• Numero di palline = σ π r √(r²+h²) = σ π h (0.38 ± 0.08) √(h² (0.38 ± 0.08)²+h²) =
= σ π h (0.38 ± 0.08) h√((0.38 ± 0.08)²+1) = σ π h² (0.38 ± 0.08)√((0.38 ± 0.08)²+1)
Perciò abbiamo bisogno di una stima per il valore (0.38 ± 0.08)√((0.38 ± 0.08)²+1), quindi prendiamo la media 0.38√((0.38)²+1)=0.41
Dunque il numero (medio) di palline è uguale a: σ π h² 0.41
La formula migliorata suggerisce che il numero di palline richieste sia proporzionale a 0.41 volte la densità superficiale moltiplicata per π e per il quadrato dell’altezza dell’albero. Ma qual è il valore di questa densità? Se il nostro albero misura 200 cm e ha un raggio di 73 cm, seguendo la formula originale, dovremmo usare 41 palline, perciò la sua densità è 8.4 palline per metro quadro. Convertendo tale valore in cm, si ottiene la definitiva “formula delle palline”: Numero di palline = (0.00108 ± 0.00025) h² (con il valore di h in cm!)
Mentre siete in piedi ad ammirare la bellezza del vostro albero di Natale completamente adorno, prendetevi un momento per apprezzare la precisione matematica che contribuisce alla sua perfezione. La treegonometria non solo migliora l’estetica dell’albero, ma ci assicura che stia ben dritto, condendo lo spirito natalizio con un tocco di eleganza matematica.
Cos’hanno in comune la treegonometria e il progetto VisitMath? La matematica è ovunque, dunque possiamo imparare non solo visitando monumenti famosi o città interessanti, ma anche studiando più attentamente ciò che ci circonda.
Buon Natale e un felice anno nuovo da noi di VisitMath!