À l’approche des fêtes de fin d’année, la quête du sapin de Noël idéal devient une tradition annuelle pour beaucoup. Si le processus de sélection fait souvent intervenir des critères de taille, de forme et d’esthétique générale, la création de la pièce maîtresse pour les fêtes fait appel à une quantité surprenante de mathématiques. Le terme « trigonoëlmétrie » a été inventé pour décrire les principes mathématiques utilisés pour créer le sapin de Noël parfait. Dans cet article, nous allons nous plonger dans le monde de la « trigonoëlmétrie », en explorant les formules mathématiques spécifiques qui contribuent à la création du symbole parfait des fêtes de fin d’année.
Deux étudiants de l’université de Sheffield, Nicole Wrightham et Alex Craig, ont dévoilé une formule qui promet de faciliter la décoration méticuleuse de votre sapin de Noël :
– Nombre de boules = h √17 / 20
Cette formule, linéaire en fonction de la hauteur de l’arbre (h), en a fait sourciller plus d’un et a donné lieu à d’intrigantes discussions au sein de la communauté mathématique, car une distribution sur une surface linéaire en hauteur ne serait qu’inégale à mesure que la hauteur varie : les grands arbres apparaîtraient trop dénudés, et les petits arbres trop couverts ! Examinons la formule de plus près pour tenter de démystifier le raisonnement qui la sous-tend.
Pour obtenir une représentation plus précise, la formule initiale, qui était linéaire en h, doit prendre en compte la densité de surface des boules (σ) dans le contexte de la forme conique de l’arbre. Le paramètre σ représente le degré de décoration d’un arbre avec des boules : des valeurs σ élevées donneront des arbres très couverts, et des valeurs sigma faibles donneront des arbres dépourvus de décorations. Ensuite, nous estimerons la valeur σ pour avoir un arbre équilibré (ni trop couvert, ni trop dénudé). Essayons maintenant d’exprimer la formule du nombre de boules en fonction de σ et de la hauteur. Comme la surface latérale du cône est π r √(r²+h²), nous pouvons représenter notre distribution comme le nombre de boules égal à σ π r √(r²+h²). Essayons à présent d’exprimer la dépendance uniquement par rapport à la hauteur, c’est-à-dire en écrivant le rayon en fonction de la hauteur. En général, il existe plus de cônes trapus et plus de cônes élancés, il serait donc impossible d’exprimer le rayon uniquement en fonction de la hauteur. Cependant, s’agissant de sapins plutôt que de cônes abstraits, il existe une certaine constance dans l’angle au sommet, à laquelle on peut plus ou moins s’attendre. Un sapin de Noël moyen a un angle d’ouverture (demi) d’environ 21 ± 4°, son rayon est donc r = h tan (21 ± 4°) = h (0,38 ± 0,08) :
– Nombre de boules = σ π r √(r²+h²) = σ π h (0,38 ± 0,08) √(h² (0,38 ± 0,08)²+h²) =
= σ π h (0,38 ± 0,08) h√((0,38 ± 0,08)²+1) = σ π h² (0,38 ± 0,08)√((0,38 ± 0,08)²+1)
Nous avons donc besoin d’une estimation pour la valeur (0.38 ± 0.08)√((0.38 ± 0.08)²+1), et elle prend la moyenne 0.38√((0.38)²+1).
Le nombre (moyen) de boules est donc égal à : σ π h² 0,41
La formule améliorée suggère que le nombre de boules nécessaires est proportionnel à 0,41 fois la densité de surface, multipliée par π et le carré de la hauteur du sapin. Mais quelle est la valeur de cette densité ? Si notre sapin a une hauteur de 200 cm et un rayon de 73 cm, selon la formule originale, nous devrions utiliser 41 boules, soit une densité de 8,4 boules par mètre carré. En convertissant cette valeur en cm, on obtient la « formule des boules » finale :
Nombre de boules = (0,00108 ± 0,00025) h² (avec h en cm !)
Alors que vous admirez votre sapin de Noël magnifiquement décoré, prenez le temps d’apprécier la précision mathématique qui contribue à sa perfection. La « trigonoëlmétrie » ne se contente pas de rehausser l’attrait visuel du sapin, elle veille également à ce qu’il se dresse fièrement, incarnant l’esprit de la saison avec un soupçon d’élégance mathématique.
Qu’est-ce que la « trigonoëlmétrie » et le projet VisitMath ont en commun ? Les mathématiques sont partout, nous pouvons donc apprendre en visitant des monuments célèbres et des villes intéressantes et en étudiant de plus près ce qui nous entoure.
Joyeux Noël et bonne année de la part de VisitMath !