Kiedy w tym okresie świątecznym będziesz podziwiać swoją pięknie udekorowaną choinkę, poświęć chwilę, aby docenić matematyczną precyzję, która przyczynia się do jej doskonałości. Treegonometria nie tylko podnosi atrakcyjność wizualną drzewka, ale także zapewnia, że stoi ono dumnie, ucieleśniając ducha świąt z nutą matematycznej elegancji.
Co mają wspólnego projekty Treegonometry i VisitMath? Matematyka jest wszędzie, więc możemy się jej uczyć zwiedzając słynne zabytki, ciekawe miasta, ale też dokładniej analizując to, co nas otacza.
Wesołych Świąt i szczęśliwego Nowego Roku życzy VisitMath!
Wraz ze zbliżaniem się sezonu świątecznego poszukiwanie idealnej choinki staje się dla wielu coroczną tradycją. Chociaż proces selekcji często uwzględnia rozmiar, kształt i ogólną estetykę, w tworzeniu idealnej świątecznej dekoracji kryje się zaskakująca ilość matematyki. „Treegonometria” to termin ukuty w celu opisania zasad matematycznych stosowanych przy projektowaniu idealnej choinki. W tym artykule zagłębimy się w świat Treegonometrii, badając konkretne wzory matematyczne, które przyczyniają się do stworzenia nieskazitelnej ikony świątecznej.
Dwie studentki Uniwersytetu w Sheffield, Nicole Wrightham i Alex Craig, odkryły wzór, który pomoże w starannym udekorowaniu choinki:
• Ilość bombek = h √17 / 20
Ten wzór, liniowy w odniesieniu do wysokości drzewa (h), wzbudził zdziwienie i doprowadził do intrygujących dyskusji w społeczności matematycznej. Dzieje się tak, ponieważ rozkład na liniowej powierzchni tylko pod względem wysokości byłby nierówny wraz ze zmianą wysokości: wysokie drzewa wydają się zbyt nagie, niskie drzewa zbyt ozdobione! Przyjrzyjmy się temu bliżej, aby spróbować objaśnić jego uzasadnienie.
Aby uzyskać dokładniejsze odwzorowanie, początkowy wzór, który był liniowy w h, musi uwzględniać gęstość powierzchniową bombek (σ) w kontekście kształtu stożka choinki. Zasadniczo parametr σ reprezentuje to, jak bardzo drzewo jest ozdobione bombkami: wysokie wartości σ spowodują, że drzewa będą bardzo pokryte, a niskie wartości sigma spowodują, że drzewa będą nagie. Następnie oszacujemy wartość σ, aby uzyskać zrównoważone drzewo (ani zbyt pokryte, ani zbyt nagie). Spróbujmy teraz wyrazić wzór na liczbę bombek w funkcji σ i wysokości. Jako, że powierzchnia boczna stożka wynosi π r √(r²+h²), możemy przedstawić nasz rozkład jako liczbę bombek równą σ π r √(r²+h²). Teraz z kolei spróbujmy wyrazić zależność tylko od wysokości, a mianowicie zapisując promień jako funkcję wysokości. Ogólnie rzecz biorąc, jest więcej przysadzistych i smukłych stożków, więc niemożliwe byłoby wyrażenie promienia ogólnie tylko na podstawie wysokości. Jednak mając do czynienia z drzewami, a nie abstrakcyjnymi stożkami, cieszymy się pewną stałością kąta na wierzchołku, wiemy, czego mniej więcej możemy się spodziewać. Przeciętna choinka ma (pół) kąt otwarcia wynoszący około 21 ± 4°, więc jej promień wynosi r = h tan (21 ± 4°) = h (0,38 ± 0,08), stąd:
• Liczba bombek = σ π r √(r²+h²) = σ π h (0,38 ± 0,08) √(h² (0,38 ± 0,08)²+h²) =
= σ π h (0,38 ± 0,08) h√(((0,38 ± 0,08)²+1) = σ π h² (0,38 ± 0,08)√(((0,38 ± 0,08)²+1)
Potrzebujemy, więc oszacowania wartości (0,38 ± 0,08)√((0,38 ± 0,08)²+1), a przyjmuje ono średnią 0,38√((0,38)²+1)=0,41
So the (mean) number of baubles is equal to: σ π h² 0.41
Ulepszony wzór sugeruje, że liczba potrzebnych bombek jest proporcjonalna do 0,41-krotności gęstości powierzchniowej pomnożonej przez π i kwadrat wysokości choinki. Ale jaka jest wartość tej gęstości? Jeśli nasza choinka ma wysokość 200 cm i promień 73 cm, to według pierwotnego wzoru powinniśmy użyć 41 bombek, a więc jej gęstość wynosi 8,4 bombek na metr kwadratowy. Zamiana tej wartości na cm doprowadziłaby do ostatecznego „wzoru na bombki”:
Liczba bombek = (0,00108 ± 0,00025) h² (przy h w cm!)
As you stand in awe of your beautifully adorned Christmas tree this holiday season, take a moment to appreciate the mathematical precision that contributes to its perfection. Treegonometry not only enhances the tree’s visual appeal but also ensures that it stands proudly, embodying the spirit of the season with a touch of mathematical elegance.
What do Treegonometry and VisitMath project have in common? Maths is everywhere, so we can learn by visiting famous monuments and interesting cities and studying what surrounds us more closely.
Merry Christmas and a Happy New Year from VisitMath!