Piękne i pożyteczne liczby Fibonacciego

Potwierdza on tym samym, to odkrył i opisał Leonardo Fibonacci. Fibonacci podał ciekawy ciąg liczb utworzonych w ten sposób, że na pierwszym i na drugim miejscu stoją jedynki, a potem każdy następny wyraz równa się sumie dwu poprzednich.

Leonardo Fibonacci, innowator matematyki trzynastego wieku, był osamotnionym płomieniem ducha średniowiecznej matematyki. Urodził się w Pizie, we Włoszech, i z tego powodu znany był jako Leonardo Pizano lub Leonardo z Pizy. W czasie, gdy jego ojciec był zarządcą okręgu Bugii na północnym wybrzeżu Afryki (obecnie Bugia znajduje się w Algierii), Leonardo pobierał nauki u mauryjskiego mistrza, który wprowadził go w arabski system liczenia oraz metody rachunku.

Po dalekich podróżach i rozległych studiach systemu rachunkowego Fibonacci napisał w 1202 roku dzieło „Liber Abaci”, w którym wyjaśnia numerację arabską oraz sposób jej wykorzystania w obliczeniach. Dzieło to było instrumentem w procesie zastępowania niezgrabnego systemu rzymskiego i wprowadzania metody rachowania, podobnej do używanej dzisiaj. Zawierało ono także zagadnienia dotyczące algebry i geometrii.

Liczby tworzące ciąg Fibonacciego są liczbami tajemniczymi, chociaż powstają w bardzo prosty sposób. Ich piękno i tajemnica tkwi w tym, iż są to liczby, które można znaleźć w gałązce drzewa, szyszce jodły, ale tuż obok matematyk, czy informatyk bezpośrednio korzystają z dobrodziejstwa tych liczb. Liczby Fibonacciego wykorzystuje się w kodowaniu sygnałów.

This image has an empty alt attribute; its file name is fibonacci-tree-1024x839.png
Źródło : https://botanicamathematica.wordpress.com/2014/04/01/fibonacci-tree/

Liczby Fibonacciego często spotykamy w przyrodzie. Gdy pień puszcza po roku nową gałąź, potem zawsze przez rok wypoczywa i dopiero po następnym roku wydaje gałąź. W pierwszym roku mamy tylko pęd główny, w drugim 2 gałęzie, w następnym 3, potem 5, 8, 13, jak w ciągu Fibonacciego.

Typowy słonecznik ma głowę zawierającą spirale ciasno upakowanych nasion, zwykle z 34 zwojami w jednym kierunku oraz z 55 zwojami w drugim. Mniejsze słonecznikowe głowy mają 21 oraz 34 spiral albo 13 oraz 21. Pewien gigantyczny słonecznik pokazano na wystawie w Anglii. Policzono jego spirale. Okazało się, że tworzą je liczby Fibonacciego: 89 i 144.

This image has an empty alt attribute; its file name is Fibonacci_spiral-1024x768.jpg
2. Źródło : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fibonacci_spiral.jpg

Ciąg ten daje niezmiernie ciekawe postacie ułamków, gdy się go użyje kolejno w licznikach i mianownikach, a mianowicie:

This image has an empty alt attribute; its file name is Equation-1-1024x136.png

Otóż:3

This image has an empty alt attribute; its file name is Equation-2.png
This image has an empty alt attribute; its file name is Equation-3.png

… i tak dalej. Mamy tu do czynienia z rozpowszechnioną w XIV wieku techniką ułamków łańcuchowych. Na przełomie XX i XXI wieku technika ta okazuje się niezbędną przy ocenianiu wykonawczej skuteczności rozmaitych i ważnych algorytmów.

Ponadto ciąg Fibonacciego ma jeszcze jedną ciekawą właściwość:

Jeśli od kwadratu którejkolwiek liczby z ciągu Fibonacciego odejmiemy iloczyn liczb sąsiednich, to otrzymamy zawsze 1, i to na przemian – raz ze znakiem plus, drugi raz ze znakiem minus:

Ciąg Fibonacciego jest niesamowicie ciekawy. Przytoczyłam tutaj tylko kilka jego własności. Ciąg ten jest cały czas przedmiotem badań naukowców, a szczególnie tych związanych z Fibonacci Association (założonym w 1963 r).

[1]https://todayinsci.com/L/Laplace_Pierre/LaplacePierre-Quotations.htm


Źródła:

  1. https://todayinsci.com/L/Laplace_Pierre/LaplacePierre-Quotations.htm  
  2. Davis Philip J., Hersh Reuten, Świat matematyki, PWN, Warszawa 1994
  3. Iwiński T., Szeregi nieskończone, WSiP, Warszawa 1974
  4. Worobjow N., Liczby Fibonacciego, PWN, Warszawa 1955
  5. Steinhaus H., Kalejdoskop matematyczny, WSiP, Warszawa 1989

Żródła – obrazy:

1. Źródło: https://botanicamathematica.wordpress.com/2014/04/01/fibonacci-tree/

2. Źródło: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fibonacci_spiral.jpg

Leave a Comment

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *

Scroll to Top