I frattali, figure geometriche che presentano una complessità infinita e una bellezza intrinseca, sono un fenomeno affascinante che permea il nostro mondo quotidiano. A prima vista, i frattali possono sembrare semplici, ma guardando più da vicino si scopre una struttura ripetitiva che si manifesta a diverse scale. Questa caratteristica, chiamata auto-similarità, rende i frattali un esempio perfetto di come la matematica può essere sia sorprendentemente complessa che esteticamente piacevole.
I frattali non si limitano alla natura, ma si estendono anche all’arte e alla tecnologia. Molti artisti sono stati ispirati dai frattali per creare opere che esplorano la bellezza della geometria infinita. L’artista olandese M.C. Escher, ad esempio, ha utilizzato concetti frattali per creare immagini che sfidano le nostre percezioni dello spazio e della realtà.
Il celebre matematico Benoit Mandelbrot notò la ricorrente presenza di frattali in natura. Pensiamo alle felci: ogni foglia è una replica in scala ridotta dell’intera pianta. Lo stesso vale per le coste frastagliate, le nuvole e i fiocchi di neve, tutti esempi di frattali naturali. La struttura dei frattali si trova anche nel nostro corpo: le ramificazioni dei polmoni, dei vasi sanguigni e persino del cervello seguono schemi frattali. Questa ripetizione di forme a diverse scale permette alla natura di essere incredibilmente efficiente nella sua organizzazione e funzionalità.
La domanda che si pose Mandelbrot era semplice, quale particolarità matematica caratterizzava i frattali rispetto ad altre forme? La risposta risiede nella dimensione di Hausdorff.
Il concetto intuitivo di dimensione risiede nella possibilità di porre delle coordinate, e conseguentemente nel numero di parametri liberi. Ecco perché nella retta abbiamo dimensione 1 (solo il parametro X), nel piano dimensione 2 (parametri X e Y) e così via. Questa definizione è però matematicamente insoddisfacente, in quanto la cardinalità di retta, piano, spazio, ecc è sempre quella del continuo, per cui sarebbe ipoteticamente possibile parametrizzare tutto lo spazio con un solo parametro.
Ecco quindi che si può pensare a una dimensione “topologica”, un oggetto ha dimensione N se si può ricoprire con una quantità numerabile di palle di dimensione N. Per esempio, una palla di dimensione 1 è un segmento, una di dimensione 2 è un disco, e così via.
La dimensione topologica è però troppo grossolana per distinguere i frattali da altre figure. Ecco quindi che entra in gioco la dimensione di Hausdorff. Immaginiamo di ricoprire una figura con palle di raggio r, sia N(r) il numero di palle necessarie per tale ricoprimento. La dimensione di Hausdorff è il numero d tale che N(r) si comporta come 1/r^d per r che tende a 0, ovvero per raggi piccoli. Questa definizione per figure “lisce” coincide con la dimensione topologica, dando un numero intero, ma per figure più ruvide come i frattali, il risultato è un numero razionale.
Quindi in natura non esistono solo oggetti di dimensione 1, 2 e 3, ma anche oggetti di dimensione 3/2 (e così via)!
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