Τα fractals (φράκταλ), γεωμετρικά σχήματα που παρουσιάζουν άπειρη πολυπλοκότητα και εγγενή ομορφιά, είναι ένα συναρπαστικό φαινόμενο που διαπερνά τον καθημερινό μας κόσμο. Με την πρώτη ματιά, τα φράκταλ μπορεί να φαίνονται απλά, αλλά μετά από προσεκτικότερη εξέταση, ανακαλύπτει κανείς μια επαναλαμβανόμενη δομή που εκδηλώνεται σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό το χαρακτηριστικό, γνωστό ως αυτο-ομοιότητα, καθιστά τα φράκταλ ένα τέλειο παράδειγμα για το πώς τα μαθηματικά μπορούν να είναι τόσο εκπληκτικά περίπλοκα όσο και αισθητικά ευχάριστα.
Τα φράκταλ δεν περιορίζονται στη φύση. Επεκτείνονται επίσης στην τέχνη και την τεχνολογία. Πολλοί καλλιτέχνες έχουν εμπνευστεί από φράκταλ για να δημιουργήσουν έργα που εξερευνούν την ομορφιά της άπειρης γεωμετρίας. Ο Ολλανδός καλλιτέχνης M.C. Escher, για παράδειγμα, χρησιμοποίησε έννοιες φράκταλ για να δημιουργήσει εικόνες που αμφισβητούν τις αντιλήψεις μας για το χώρο και την πραγματικότητα.
Ο διάσημος μαθηματικός Benoit Mandelbrot σημείωσε την επαναλαμβανόμενη παρουσία φράκταλ στη φύση. Εξετάστε τις φτέρες: κάθε φύλλο είναι ένα μειωμένο αντίγραφο ολόκληρου του φυτού. Το ίδιο ισχύει και για τις οδοντωτές ακτές, τα σύννεφα και τις νιφάδες χιονιού. Όλα αποτελούν παραδείγματα φυσικών φράκταλ. Οι δομές φράκταλ βρίσκονται επίσης μέσα στο σώμα μας: η διακλάδωση των πνευμόνων, των αιμοφόρων αγγείων, ακόμη και του εγκεφάλου ακολουθεί τα μορφοκλασματικά πρότυπα. Αυτή η επανάληψη μορφών σε διαφορετικές κλίμακες επιτρέπει στη φύση να είναι απίστευτα αποτελεσματική στην οργάνωση και τη λειτουργικότητά της.
Το ερώτημα που έθεσε ο Mandelbrot ήταν απλό: ποια μαθηματική ιδιαιτερότητα χαρακτήριζε τα φράκταλ σε σύγκριση με άλλα σχήματα; Η απάντηση βρίσκεται στη διάσταση Hausdorff.
Η διαισθητική έννοια της διάστασης έγκειται στην ικανότητα τοποθέτησης συντεταγμένων και κατά συνέπεια στον αριθμό των ελεύθερων παραμέτρων. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο μια γραμμή έχει διάσταση 1 (μόνο η παράμετρος X), το επίπεδο έχει διάσταση 2 (παράμετροι X και Y) και ούτω καθεξής. Ωστόσο, αυτός ο ορισμός είναι μαθηματικά μη ικανοποιητικός, καθώς η πληθικότητα μιας γραμμής, ενός επιπέδου, ενός χώρου κ.λπ., είναι πάντα αυτή του συνεχούς, οπότε θα ήταν υποθετικά δυνατό να παραμετροποιηθεί ολόκληρος ο χώρος με μία μόνο παράμετρο. Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς να σκεφτεί μια «τοπολογική» διάσταση: ένα αντικείμενο έχει διάσταση Ν αν μπορεί να καλυφθεί με μια μετρήσιμη ποσότητα Ν-διαστάσεων σφαιρών. Για παράδειγμα, μια μπάλα 1 διαστάσεων είναι ένα τμήμα, μια μπάλα 2 διαστάσεων είναι ένας δίσκος και ούτω καθεξής.
Η τοπολογική διάσταση είναι, ωστόσο, πολύ χονδροειδής για να διακρίνει τα φράκταλ από άλλα σχήματα. Εδώ μπαίνει στο παιχνίδι η διάσταση Hausdorff. Φανταστείτε να καλύπτετε μια φιγούρα με μπάλες ακτίνας r, έστω N(r) να είναι ο αριθμός των σφαιρών που απαιτούνται για μια τέτοια κάλυψη. Η διάσταση Hausdorff είναι ο αριθμός d έτσι ώστε το N(r) να συμπεριφέρεται όπως το 1/r^d καθώς το r τείνει στο 0, δηλαδή για μικρές ακτίνες. Αυτός ο ορισμός συμπίπτει με την τοπολογική διάσταση για τα “ομαλά” σχήματα, δίνοντας έναν ακέραιο, αλλά για σκληρότερα σχήματα όπως τα φράκταλ, το αποτέλεσμα είναι ένας ρητός αριθμός. Έτσι, στη φύση, δεν υπάρχουν μόνο αντικείμενα διάστασης 1, 2 και 3, αλλά και αντικείμενα διάστασης 3/2 (και ούτω καθεξής)!
Εάν είστε γοητευμένοι από αυτές τις μαθηματικές γνώσεις, ο ιστότοπος www.visitmath.eu προσφέρει έναν καινοτόμο τρόπο προσέγγισης αυτού του ενδιαφέροντος θέματος. Το VisitMath προτείνει ξεναγήσεις που συνδυάζουν την εκμάθηση μαθηματικών με την εξερεύνηση πραγματικών τόπων. Αυτές οι περιηγήσεις έχουν σχεδιαστεί για να είναι διαδραστικές και ελκυστικές, καθιστώντας τα μαθηματικά προσβάσιμα σε όλους.