Καθώς πλησιάζει η περίοδος των διακοπών, η αναζήτηση του τέλειου χριστουγεννιάτικου δέντρου γίνεται ετήσια παράδοση για πολλούς. Ενώ η διαδικασία επιλογής συχνά περιλαμβάνει εκτιμήσεις μεγέθους, σχήματος και συνολικής αισθητικής, υπάρχει ένας εκπληκτικός αριθμός μαθηματικών που εμπλέκονται στη δημιουργία του ιδανικού εορταστικού κεντρικού κομματιού. Η “δεντρο-γονομετρία” είναι ένας όρος που επινοήθηκε για να περιγράψει τις μαθηματικές αρχές που χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό του τέλειου χριστουγεννιάτικου δέντρου. Σε αυτό το άρθρο, θα εμβαθύνουμε στον κόσμο της δεντρογονομετρίας, εξερευνώντας τους συγκεκριμένους μαθηματικούς τύπους που συμβάλλουν στη δημιουργία ενός άψογου εικονιδίου διακοπών.
Δύο φοιτητές του Πανεπιστημίου του Σέφιλντ, η Nicole Wrightham και ο Alex Craig αποκάλυψαν μια φόρμουλα που υπόσχεται να καθοδηγήσει τη σχολαστική διακόσμηση του χριστουγεννιάτικου δέντρου σας:
• Αριθμός στολών = h √17 / 20
Αυτός ο τύπος, γραμμικός στο ύψος του δέντρου (h), έχει προκαλέσει ενδιαφέρουσες συζητήσεις εντός της μαθηματικής κοινότητας. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια κατανομή σε μια γραμμική επιφάνεια σε ύψος θα ήταν μόνο άνιση καθώς το ύψος ποικίλλει: τα ψηλά δέντρα θα φαίνονταν πολύ γυμνά και τα κοντά δέντρα πολύ καλυμμένα! Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτό για να προσπαθήσουμε να απομυθοποιήσουμε τη λογική πίσω από αυτό.
Για να επιτευχθεί μια ακριβέστερη αναπαράσταση, ο αρχικός τύπος, ο οποίος ήταν γραμμικός σε h, πρέπει να εξετάσει την πυκνότητα επιφάνειας των στολών (σ) στο πλαίσιο του κωνικού σχήματος του δέντρου. Ουσιαστικά, η παράμετρος σ αντιπροσωπεύει πόσο διακοσμημένο είναι ένα δέντρο με στολίδια: οι υψηλές τιμές σ θα οδηγήσουν σε πολύ καλυμμένα δέντρα και οι χαμηλές τιμές σίγμα θα οδηγήσουν σε γυμνά δέντρα. Στη συνέχεια, θα εκτιμήσουμε ότι η σ τιμή έχει ένα ισορροπημένο δέντρο (ούτε πολύ καλυμμένο ούτε πολύ γυμνό). Τώρα, ας προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τον τύπο για τον αριθμό των στολών ως συνάρτηση του σ και του ύψους. Δεδομένου ότι η πλευρική επιφάνεια του κώνου είναι π r √(r²+h²), μπορούμε να αναπαραστήσουμε την κατανομή μας ως τον αριθμό των στολών ίσο με σ π r √(r²+h²). Ας προσπαθήσουμε τώρα να εκφράσουμε την εξάρτηση μόνο από το ύψος, δηλαδή γράφοντας την ακτίνα ως συνάρτηση του ύψους. Γενικά, υπάρχουν περισσότεροι κώνοι οκλαδόν και πιο λεπτοί κώνοι, οπότε θα ήταν αδύνατο να εκφραστεί η ακτίνα γενικά μόνο σε ύψος. Ωστόσο, ασχολούμενοι με δέντρα και όχι με αφηρημένους κώνους, απολαμβάνουμε κάποια σταθερότητα στη γωνία στην κορυφή, την οποία μπορούμε λίγο πολύ να περιμένουμε. Ένα μέσο χριστουγεννιάτικο δέντρο έχει (μισή) γωνία ανοίγματος περίπου 21 ± 4°, οπότε η ακτίνα του είναι r = h tan (21 ± 4°) = h (0,38 ± 0,08), ως εκ τούτου:
• Αριθμός στολών = σ π r √(r²+h²) = σ π h (0,38 ± 0,08) √(h² (0,38 ± 0,08)²+h²) =
= σ π h (0,38 ± 0,08) h√((0,38 ± 0,08)²+1) = σ π h² (0,38 ± 0,08)√((0,38 ± 0,08)²+1)
Χρειαζόμαστε λοιπόν μια εκτίμηση για την τιμή (0,38 ± 0,08)√((0,38 ± 0,08)²+1), και παίρνει το μέσο όρο 0,38√((0,38)²+1)=0,41
Έτσι, ο (μέσος) αριθμός των στολών είναι ίσος με: σ π h² 0,41
Ο βελτιωμένος τύπος υποδηλώνει ότι ο αριθμός των μπάλων που απαιτούνται είναι ανάλογος με 0,41 φορές την πυκνότητα της επιφάνειας, πολλαπλασιασμένη με π και το τετράγωνο του ύψους του δέντρου. Αλλά ποια είναι η αξία αυτής της πυκνότητας; Εάν το δέντρο μας έχει ύψος 200cm και ακτίνα 73cm, σύμφωνα με τον αρχικό τύπο, θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε 41 μπάλες, οπότε η πυκνότητα του είναι 8,4 μπάλες ανά τετραγωνικό μέτρο. Η μετατροπή αυτής της τιμής σε cm θα οδηγούσε στον τελικό “τύπο baubles”:
Αριθμός στολών = (0,00108 ± 0,00025) h² (με h σε cm!)
Καθώς στέκεστε με δέος μπροστά στο όμορφα στολισμένο χριστουγεννιάτικο δέντρο σας αυτές τις γιορτές, αφιερώστε λίγο χρόνο για να εκτιμήσετε τη μαθηματική ακρίβεια που συμβάλλει στην τελειότητά του. Η δεντρο-γωνομετρία όχι μόνο ενισχύει την οπτική ελκυστικότητα του δέντρου, αλλά διασφαλίζει επίσης ότι στέκεται περήφανα, ενσωματώνοντας το πνεύμα της εποχής με μια πινελιά μαθηματικής κομψότητας.
Τι κοινό έχουν το Treegonometry και το έργο VisitMath; Τα μαθηματικά είναι παντού, ώστε να μπορούμε να μάθουμε επισκεπτόμενοι διάσημα μνημεία και ενδιαφέρουσες πόλεις και μελετώντας τι μας περιβάλλει πιο στενά.
Καλά Χριστούγεννα και Ευτυχισμένο το Νέο Έτος από το VisitMath!